Capítulo 3: Problema 54
a.Graph \ (f (x) = x^{2} +1; x \ leq 0 \).b.Do gráfico de \ (f \), é \ (f \) uma função individual?c.Escreva o domínio de \ (f \) na notação de intervalo.d.Escreva o intervalo de \ (f \) na notação de intervalo.e.Escreva uma equação para \ (f^{-1} (x) \).f.Graph \ (y = f (x) \) e \ (y = f^{-1} (x) \) no mesmo sistema de coordenadas.g.Escreva o domínio de \ (f^{-1} \) na notação de intervalo.h.Escreva o intervalo de \ (f^{-1} \) na notação de intervalo.
Resposta curta
Especialista verificado
a.O gráfico se abre para cima para x ≤ 0. b.Sim, é individual.c.Domínio: (-∞, 0]. D. Faixa: [1, ∞).e.f^{-1} (x) =-√ (x-1).f.Gráfico descrito em etapas.g.O domínio de f^{-1} é [1, ∞).h.A faixa de f^{-1} é (-∞, 0].
Solução passo a passo
01
Graça a função
Primeiro, vamos representar graficamente a função f (x) = x^2 + 1 para x ≤ 0. Inicie por plotagem pontos para diferentes valores de x que satisfazem x ≤ 0. Por exemplo, calcule F (-2), F (-1) e F (0) resultando em 5, 2 e 1, respectivamente.O gráfico será uma parábola que se abre, limitada ao lado esquerdo do eixo y.
02
Determinar se F é um para um
Uma função é individual se cada valor y tiver exatamente um valor x correspondente.No gráfico de f (x), para cada valor de saída, existe apenas um valor de entrada, pois a parábola não se sobrepõe ao eixo y.Portanto, F é individual.
03
Encontre o domínio de f
O domínio de F é o conjunto de todos os valores X para os quais a função é definida.Dado x ≤ 0, o domínio na notação de intervalo é (-∞, 0].
04
Encontre a gama de f
O intervalo de F é o conjunto de todos os valores y que a função pode produzir.Como f (x) = x^2 + 1 e x é menor ou igual a 0, o valor mínimo de f (x) é 1 quando x = 0. Assim, o intervalo na notação de intervalo é [1, ∞).
05
Encontre a função inversa
Para encontrar a função inversa f^{ -1} (x), troca x e y na equação y = x^2 + 1, então x = y^2 + 1. Resolvendo para y dá y = ± √ (x -1).No entanto, como o inverso também deve ser uma função, use a restrição x ≤ 0 para obter f^{ -1} (x) = -√ (x -1).
06
Gráfico y = f (x) e y = f^{-1} (x)
Gráfico y = f (x) da etapa 1. Então, gráfico f^{ -1} (x) = -√ (x -1) para x ≥ 1 por pontos de plotagem como (1, 0), (2, - -1) e (5, -2).Refletir isso em y = x para clareza.
07
Encontre o domínio de f^{-1}
O domínio de f^{-1} (x) é o intervalo de f (x).Da etapa 4, o intervalo de f (x) é [1, ∞), portanto, o domínio de f^{-1} (x) é [1, ∞).
08
Encontre a faixa de f^{-1}
A faixa de f^{-1} (x) é o domínio de f (x).Da etapa 3, o domínio de f (x) é (-∞, 0], portanto, o intervalo de f^{-1} é (-∞, 0].
Conceitos chave
Esses são os conceitos -chave que você precisa entender para responder com precisão a pergunta.
Domínio e alcance
Compreender o intervalo ** do domínio ** e ** ** de uma função é essencial.O domínio refere-se a todos os valores de entrada possíveis (valores X) para os quais a função é definida.O intervalo, por outro lado, é todos os possíveis valores de saída (valores Y) que a função pode produzir.
Por exemplo, considere a função dada no exercício, \ (f (x) = x^2 + 1 \) com a restrição \ (x \ leq 0 \).Esta restrição limita os valores X que podemos usar:
- Domínio:Como x é restrito a valores menores ou iguais a 0, o domínio na notação de intervalo é \ (-∞, 0] \).
- Faixa:O valor mínimo de \ (f (x) \) ocorre quando \ (x = 0 \), fazendo \ (f (0) = 1 \).Como a função quadrática se abre para cima, a função gera todo valor maior ou igual a 1. Assim, o intervalo na notação de intervalo é \ ([1, ∞) \).
Funções individuais
Uma função é chamada ** um para um ** se todo valor Y tiver um valor X correspondente exclusivo.Isso implica que nenhuma linha horizontal cruza o gráfico mais de uma vez.
Em nosso exercício, vamos verificar se a função \ (f (x) = x^2 + 1 \) com \ (x \ leq 0 \) é um para um.Visualizando isso, para cada valor y, existe exatamente um valor X único, dada a restrição \ (x \ leq 0 \).Portanto, a função é individual.
Ser uma função individual significa que tem um inverso.Isso é crucial quando queremos encontrar ou representar graficamente a função inversa \ (f^{-1} (x) \).Lembre-se, se uma função não for individual, ela não tem um inverso adequado.
Parabolas gráficas
Ao representar o gráfico \ textbf {parabolas}, é importante conhecer o vértice e a direção em que ele abre.O formulário padrão de uma parábola é fornecido por \ (f (x) = ax^2 + bx + c \).Aqui, a função \ (f (x) = x^2 + 1 \) é um caso simples:
- Vértice:O vértice ocorre em \ (x = 0 \), dando o ponto (0, 1).
- Direção:Como o coeficiente de \ (x^2 \) (que é 1) é positivo, a parábola se abre para cima.
Para o exercício, consideramos apenas a metade esquerda da parábola (onde \ (x \ leq 0 \)).Simplesmente plote vários pontos como \ (f (-2), f (-1), \) e \ (f (0) \) resultando em (4, 5), (-1, 2) e (0, 1) respectivamente, e conecte -os sem problemas.
Notação de intervalo
O uso de ** notação de intervalo ** ajuda a descrever claramente o domínio e a faixa de funções.Vamos quebrar a notação:
- Suportes redondos \ (() \):Eles denotam que um ponto final não está incluído no intervalo (também conhecido como intervalo aberto).
- Suportes quadrados \ ([] \):Eles mostram que um ponto final é incluído no intervalo (também conhecido como intervalo fechado).
Para o domínio e o alcance de nossa função \ (f (x) = x^2 + 1 \) com \ (x \ leq 0 \), usamos:
- O domínio é \ ((-∞, 0] \)-qualquer valor do infinito negativo até e incluindo 0.
- O intervalo é \ ([1, ∞) \) - a partir de 1 e aumentando para o infinito, porque o valor mínimo é 1 e a parábola se abre para cima.
O uso corretamente de notação de intervalo ajuda os matemáticos e alunos a especificar com precisão os conjuntos de valores envolvidos.
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